一般

確率ベクトル(標本確率変数) oldsymbol{X} = (X_1,X_2,ldots,X_n)は分布P_{	heta}, 	heta  in Thetaに従うとし、
分布P_	hetaの確率(密度)関数をf(oldsymbol{x};	heta) (= prod_{i=1}^n f(x_i;	heta))とする。
この時、検定問題

egin{eqnarray}
left{
egin{array}{l}
H_0 : heta = heta_0 (単純仮説)
H_1 : heta = heta_1 (単純仮説)
end{array}
ight.
end{eqnarray}

に対する有意水準alpha(0le alpha le 1)の最強力検定 varphi_0(oldsymbol{x})は次式で与えられる。
(※varphi(oldsymbol{x})のことを検定関数という)

egin{eqnarray}
varphi_0(oldsymbol{x}) =
left{
egin{array}{ll}
1 & if ;; f(oldsymbol{x}; heta_1) > kf(oldsymbol{x}; heta_0)
gamma & if ;; f(oldsymbol{x}; heta_1) = kf(oldsymbol{x}; heta_0)
0 & if ;; f(oldsymbol{x}; heta_1) < kf(oldsymbol{x}; heta_0)
end{array}
ight.
end{eqnarray}

ここで、定数 gamma(0 le gamma le 1), k (ge 0)は次式から定まるものである。
egin{equation}
E_{ heta_0} ( varphi(oldsymbol{X}) ) = alpha
end{equation}


以上がNeyman-Pearsonの基本定理である。これだけではなんのことかわからないので、もう少しわかりやすく書いていくことにする。

つまりは...

大きさnの無作為に抽出された独立な標本X_1,X_2,ldots,X_nについて、帰無仮説、対立仮説共に単純仮説である検定問題

egin{eqnarray}
left{
egin{array}{l}
H_0 : heta = heta_0 (単純仮説)
H_1 : heta = heta_1 (単純仮説)
end{array}
ight.
end{eqnarray}

に対して、最強力棄却域R^*はが以下で与えられる。

egin{equation}
R^* = { (X_1,X_2,ldots,X_n) ; frac{prod_{i=1}^n f(x_i; heta_1)}{prod_{i=1}^n f(x_i; heta_0)} > c } , c>0
end{equation}

ただしこの時、cは以下により決まる(alphaは有意水準)

egin{eqnarray}
P((X_1,X_2,ldots,X_n) in R^* | heta = heta_0) & = & P(第1種の誤りがおこる)
& = & int ldots int_{R^*} prod_{i=1}^n f(x_i; heta_0)dx_1 ldots dx_n
& = & alpha
end{eqnarray}

上記二つを行うことで最強力棄却域が求まることを、Neyman-Pearsonの基本定理は言っているのである。
この最強力棄却域の基づく検定のことを最強力検定と呼び、Neyman-Pearsonの基本定理を用いることで、
帰無仮説、対立仮説がともに単純仮説の際、最強力検定を求めることができるのである。

以下のことを覚えておきたい。
検定関数varphi(oldsymbol{x})を決めるLeftrightarrow棄却域Rを決める

対立仮説が複合の場合でも活躍するNeyman-Pearonの定理

Neyman-Pearsonの定理は基本単純仮説同士の検定に用いられるが、対立仮説が以下のような場合にも応用することができる。
帰無仮説H_0 : mu = mu_0
対立仮説H_1 : mu > mu_0 または mu < mu_0
このような対立仮説の検定問題の場合、mu > mu_0(または mu < mu_0)を満たすような任意のmu_1を用いて
単純仮説に帰着することで、Neyman-Pearsonの基本定理を応用することができる。

参考文献

鈴木武・山田作太郎(2006)『数理統計学-基礎から学ぶデータ解析-』内田老鶴圃.
国沢清典(2012)『確率統計演習2-統計』培風館.
稲垣宣生(2013)『数理統計学』(数学シリーズ)裳華房.